Materi Tentang Phytagoras
1. Pengertian Teorema Phytagoras
Teorema Phytagoras atau yang lebih dikenal Dalil Pythagoras merupakan
salah satu dalil yang paling sering digunakan secara luas. Dalil ini
pertama kali ditemukan oleh Pythagoras, yaitu seorang ahli matematika bangsa yunani yang hidup dalam abad keenam Masehi ( kira-kira pada tahun 525 sebelum Masehi ).
Dalil ini sesungguhnya telah dikenal orang-orang
Babilonia sekitar 1.000 tahun sebelum masa kehidupan Pythagoras dan
sampai saat ini masih digunakan antara lain untuk pelayaran, astronomi,
dan arsitektur.
Teorema Pythagoras ini adalah teorema yang sangat terkenal. Teorema
ini akan sering digunakan dalam menghitung luas bangun datar. Selain
digunakan dalam perhitungan pada bangun datar, perhitungan pada dimensi 3
atau yang lain juga sering menggunakan teorema Pythagoras.
Teorema Pythagoras berbunyi: pada suatu segitiga siku-siku berlaku
sisi miring kuadrat sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Secara
umum, jika segitiga ABC siku-siku di C maka teorema Pythagoras dapat
dinyatakan . Banyak buku menuliskan teorema ini sebagai . Dengan c adalah sisi miring.
2. Pembuktian Teorema Phytagoras
Bukti dari teorema Pythagoras sangat bermacam-macam. Sangat banyak cara untuk
membuktikan teorema ini. Di sini akan diberikan beberapa
bukti teorema Pythagoras. Dari bukti yang sangat mendasar sampai bukti
yang cukup rumit. Kebanyakan bukti teorema Pythagoras adalah
pengembangan dari bukti-bukti inti (bukti-bukti dasar).
Bukti 1
Disediakan 4 buah segitiga siku-siku. Perhatikan gambar di atas. 4
segitiga di atas adalah segitiga yang sama. Mempunyai sisi-sisi a, b dan
c. dan sisi c merupakan sisi miring dari segitiga tersebut. Ketiga
segitiga disampingnya adalah hasil rotasi 90, 180 dan 270 derajat dari
segitiga pertama.
Luas masing-masing segitiga yaitu . Sehingga luas 4 segitiga tersebut adalah .
Segitiga-segitiga tersebut kita atur sedemikian sehingga membentung persegi dengan sisi c seperti gambar berikut.
Perhatikan gambar hasil susunan 4 segitiga tersebut. gambar tersebut
membentuk sebuah persegi dengan sisi c. dan didalamnya ada persegi
kecil. Panjang sisi persegi kecil tersebut adalah .
Secara langsung kita dapat menentukan luas persegi besar tersebut, yaitu .
Dan secara tidak langsung, luas persegi besar dengan sisi c tersebut
adalah sama dengan luas 4 segitiga ditambah luas persegi kecil yang
mempunyai sisi . Sehingga diperoleh,
Bukti 2
Perhatikan gambar. Gambar tersebut adalah gambar 2 persegi. Persegi
yang besar adalah sebuah persegi yang mempunyai panjang sisi a, dan
persegi kecil mempunyai panjang sisi yaitu b.
Luas persegi yang besar tentunya adalah . Dan luas persegi kecil adalah . Sehingga luas bangun diatas adalah
Kedua persegi tersebut kita gabungkan. Dan kita buat garis sedemikian
sehingga seperti pada gambar. Sisi c menjadi sisi miring dari segitiga
tersebut. kemudian kita potong segitiga-segitiga tersebut. dan kita
pindahkan ke bagian atas dan samping kanan seperti pada gambar berikut.
Luas persegi dengan sisi c tersebut tentunya adalah .
Karena 2 persegi pada awal tadi adalah sama dengan 1 persegi besar
dengan sisi c diatas, maka tentunya luas 2 persegi pertama sama dengan
luas persegi besar dengan sisi c tersebut.
sehingga,
Bukti 3
Gambar tersebut adalah gambar sebuah trapesium yang dibentuk dari 3 segitiga. Luas trapesium tersebut adalah .
dicari menggunakan rumus luas trapesium. Yaitu setengah dikalikan
dengan jumlah sisi yang sejajar dikali tinggi trapesium. Mencari luas
bangun datar diatas dapat juga menggunakan jumlah luas segitiga
(perhatikan gambar). yaitu
.
Luas yang dihitung adalah tetap. Yaitu bentuk trapezium tersebut.
sehingga haruslah kedua luas yang dicari dengan langkah yang berbeda itu
harus sama. Diperoleh,
3. Triple Phytagoras
Tiga buah bilangan a, b dan c dimana a, b dan ?
bilagan asli dan c merupakan bilangan terbesar, dikatakan merupakan
tripel Pythagoras jika ketiga bilangan tersebut memenuhi hubungan :
c2 |
=
|
a2+b2 | atau |
b2 |
=
|
c2-a2 | atau |
a2 |
=
|
c2-b2 |
Manakah diantara tigaan berikut yang merupakan tripel Pythagoras ?
a. 9, 12, 15
b. 13, 14, 15
c. 5, 12, 13
PENYELESAIAN
a.
|
Angka terbesar 15, maka c = 15, a = 12 dan b = 9
152 = 122 + 92225 = 144 + 81 225 = 225
Jadi 9, 12, 15 merupakan tripel pythagoras
|
b.
|
Angka terbesar 15, maka c = 15, a = 13 dan b = 14
152 ¹ 132 + 142225 ¹ 169 + 196 225 ¹ 365 Jadi 13, 14, 15 merupakan bukan tripel pythagoras |
c.
|
Angka terbesar 13, maka c = 13, a = 12 dan b= 5132 = 122 + 52 169 = 144 +25 169 = 169 Jadi 5, 12, 13 merupakan tripel pythagoras |
Jenis Segitiga
Hubungan nilai c2 dengan ( a2 + b2 ) dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga. Jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan :
- c2 > a2 + b2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul
- c2 = a2 + b2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku
- c2 < a2 + b2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip
Tidak ada komentar:
Posting Komentar